摘  要：数学教材中的习题在数学教学中发挥着重要的作用，习题的难度在一定程度上反映了教材的难度，本文利用一个综合难度模型，选取中国、美国、新加坡三套初中数学教材中“三角形有关的角”的内容，从习题的背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素进行分析，为我国初中数学教材编写提供参考。

　　关键词：教材比较 初中数学 国际比较 综合难度模型 三角形

　　基金项目：甘肃省教育科学规划“十二五”课题GS[2014](GHB1360)

　　0  引言

　　综合难度模型是一种利用等级权重来测量和统计难度的方法，该方法在国际比较教育领域发挥着重要作用。目前我国与之相关的研究成果中，代表性的有鲍建生、史宁中等在初中数学教材难度进行定量分析基础上建立了课程难度模型[1]、朱娅梅在鲍建生的基础上对中美初中数学教材进行了综合难度分析[2]、贾随军在鲍建生、史宁中建立的“由探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素的基础上进行了微调，同时对中国与美国的数学教材中的习题进行了难度模型比较[3]。本文在贾随军教授的基础上，对中国、美国、新加坡三国初中数学教材中的“三角形的有关角”的习题进行难度模型比较。首先，统计各因素上每个水平层次中的习题题量及百分比；其次，根据等级权重利用下面的公式计算中、美、新教材在每个因素上的加权平均值：

　　其中di(i=1，2，3，4，5)，分别为“数学认知”、“背景”、“运算”、“推理”、“综合知识”五个难度因素上的取值；dij为第i个难度因素的第j个水平权重(以水平分别取1，2，3，…)；nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n[4]。

　　1  样本选取

　　考虑到购买教材的便利性，故选取了人教版教材[5]、美国Glencoe Mathematics.Geometry[6]和New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal(Academic) Singapore[7]来进行比较研究。

　　本文中的习题包括：中国教材“三角形的有关角”中的“合作探究”、“练习”、“复习巩固”、“综合应用”、“拓广探索”等；美国教材中的例题(Example)、活动(Activity)、证明(Proof)、概念检查(Concept Check)、引导练习(Guide Practice)、应用(Application)为下节课做准备(Getting Ready forthe Next Lesson)等；新加坡教材“三角形有关的角”中的“例题(Example)”、“练习(Exercise 6C、6D)”。从表1中统计的习题数量上可以看出，美国教材的习题最多，其次是人教社教材，接下来是新加坡教材，中国和新加坡教材差别不大。

　　表1  样本教材及习题总数

　　2  综合难度模型

　　根据分析和计算得到表2的分析数据。

　　表2  三国数学教材习题综合难度数据分析

　　2.1  数学认知因素水平的综合难度分析

　　由表2可得，三种教材在“理解”因素上差异较小，“运用”因素水平的习题数据表明，人教社教材比美国教材高了13%，美国教材比新加坡教材高出约19%，人教社教材比新加坡教材高出约5%；对于“分析”因素水平的习题，美国教材比人教社教材低了18%，美国教材比新加坡教材低了近21%，人教社教材比新加坡教材低了近2%。

　　美国教材“运用”因素水平上的习题所占比例很高，是由于美国教材注重概念、公理、定理的直接转化。而美国教材“分析”水平的习题比例偏低，是由于美国教材对每题的处理都“碎片化”，如图1(美国教材189页)所示，都是让把题目“碎片化”，将每道题目分解成几步，引导学生去完成，所涉及的定理都是单一的，然后让学生计算∠2和∠3等。相反，人教社教材对于习题的处理更加“整体化”、“综合化”，如图2(人教版82页)所示，直接给出所有的条件，计算∠ACB的度数。学生在解决问题的过程中将问题“碎片化”，从而建立解题策略，“分析”水平相对很高，新加坡教材的“分析”水平相对也很高，如图3(新加坡教材189页)[7]。但是新加坡教材和美国教材有着共同的特点——对于题目的处理“低起点”、“碎片化”[6,7]。

　　图1  美国教材习题

　　图2  人教版教材习题

　　图3  新加坡教材习题